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设想如下场景：一个攻击者试图比诚实节点产生链条更快地制造替代性区块链。即便它达到了这一目的，但是整个系统也并非就此完全受制于攻击者的独断意志了，比方说凭空创造价值，或者掠夺本不属于攻击者的货币。这是因为节点将不会接受无效的交易，而诚实的节点永远不会接受一个包含了无效信息的区块。一个攻击者能做的，最多是更改他自己的交易信息，并试图拿回他刚刚付给别人的钱。

诚实链条和攻击者链条之间的竞赛，可以用二叉树随机漫步（Binomial Random Walk)来描述。成功事件定义为诚实链条延长了一个区块，使其领先性+1，而失败事件则是攻击者的链条被延长了一个区块，使得差距-1。

攻击者成功填补某一既定差距的可能性，可以近似地看做赌徒破产问题（Gambler’s Ruin problem）。假定一个赌徒拥有无限的透支信用，然后开始进行潜在次数为无穷的赌博，试图填补上自己的亏空。那么我们可以计算他填补上亏空的概率，也就是该攻击者赶上诚实链条，如下所示：

假定p>q，那么攻击成功的概率就因为区块数的增长而呈现指数化下降。由于概率是攻击者的敌人，如果他不能幸运且快速地获得成功，那么他获得成功的机会随着时间的流逝就变得愈发渺茫。那么我们考虑一个收款人需要等待多长时间，才能足够确信付款人已经难以更改交易了。我们假设付款人是一个支付攻击者，希望让收款人在一段时间内相信他已经付过款了，然后立即将支付的款项重新支付给自己。虽然收款人届时会发现这一点，但为时已晚。

收款人生成了新的一对密钥组合，然后只预留一个较短的时间将公钥发送给付款人。这将可以防止以下情况：付款人预先准备好一个区块链然后持续地对此区块进行运算，直到运气让他的区块链超越了诚实链条，方才立即执行支付。当此情形，只要交易一旦发出，攻击者就开始秘密地准备一条包含了该交易替代版本的平行链条。

然后收款人将等待交易出现在首个区块中，然后在等到z个区块链接其后。此时，他仍然不能确切知道攻击者已经进展了多少个区块，但是假设诚实区块将耗费平均预期时间以产生一个区块，那么攻击者的潜在进展就是一个泊松分布，分布的期望值为：

当此情形，为了计算攻击者追赶上的概率，我们将攻击者取得进展区块数量的泊松分布的概率密度，乘以在该数量下攻击者依然能够追赶上的概率。

化为如下形式，避免对无限数列求和：

写为如下C语言代码：

#include double AttackerSuccessProbability(double q, int z)

{

double p = 1.0 - q;

double lambda = z * (q / p);

double sum = 1.0;

int i, k;

for (k = 0; k <= z; k++)

{

double poisson = exp(-lambda);

for (i = 1; i <= k; i++)

poisson *= lambda / i;

sum -= poisson * (1 - pow(q / p, z - k));

}

return sum;

}

对其进行运算，我们可以得到如下的概率结果，发现概率对z值呈指数下降。

当q=0.1时

z=0 P=1.0000000

z=1 P=0.2045873

z=2 P=0.0509779

z=3 P=0.0131722

z=4 P=0.0034552

z=5 P=0.0009137

z=6 P=0.0002428

z=7 P=0.0000647

z=8 P=0.0000173

z=9 P=0.0000046

z=10 P=0.0000012

当q=0.3时

z=0 P=1.0000000

z=5 P=0.1773523

z=10 P=0.0416605

z=15 P=0.0101008

z=20 P=0.0024804

z=25 P=0.0006132

z=30 P=0.0001522

z=35 P=0.0000379

z=40 P=0.0000095

z=45 P=0.0000024

z=50 P=0.0000006

求解令P<0.1%的z值：

为使P<0.001，则

q=0.10 z=5

q=0.15 z=8

q=0.20 z=11

q=0.25 z=15

q=0.30 z=24

q=0.35 z=41

q=0.40 z=89

q=0.45 z=340